Die Denkfähigkeit des Menschen ist nicht in allen Bereichen gleichmäßig gut ausgeprägt. Dazu hier ein Beispiel:

Können Sie diese einfache Aufgabe lösen?

Am Ende einer Fernseh-Show darf der Hauptgewinner durch eine Art Losentscheid seinen Gewinn ermitteln. Er wählt eine von drei Türen, hinter denen sich möglicherweise der Gewinn verbirgt. Eine der drei Türen verbirgt den Hauptgewinn, hinter den beiden anderen steht jeweils ein Ziegenbock als Symbol für die Niete.

Nachdem nun der Gewinner eine Tür ausgewählt hat, gibt der Showmaster ihm eine zusätzliche Chance: Er öffnet eine der beiden verbliebenen Türen, eine Niete natürlich, und bietet dem Kandidaten die Chance, seine Wahl beizubehalten oder auf die dritte noch verbliebene Tür zu wechseln. Die entscheidende Frage lautet: Erhöhen sich seine Gewinnchancen, wenn er wechselt, oder bleiben sie gleich (oder sinken sie gar)?

Über diese scheinbar so simple Aufgabe wurde selbst in Fachkreisen ein erbitterter Streit ausgetragen. Angeblich haben sich sogar Mathematiker von Weltruf zu gegenseitigen Beleidigungen hinreißen lassen. Versuchen Sie, die Frage zu beantworten, bevor Sie weiterlesen.

Halt! Bitte wirklich erst entscheiden: Verbessern sich die Chancen, ja oder nein?

Bitte wirklich nachdenken! Nicht mogeln!

Der "gesunde Menschenverstand" sagt uns, daß der Wechsel auf keinen Fall etwas bringen kann. Es hat sich doch durch die zusätzliche Information gar nichts geändert. Aber ist das wirklich richtig? Denken Sie einmal darüber nach.

Eine überraschende Antwort!

Die überraschende Antwort ist: Der Wechsel verdoppelt (!) die Gewinnchance.

Einen exakten mathematischen Beweis führt man übrigens über abhängige Wahrscheinlichkeiten. Für mathematische Laien: Stellen Sie sich vor, die Show würde 999 mal durchgeführt. Der Kandidat wählt stets nach Zufallsprinzip aus und nimmt das Angebot des Showmasters niemals wahr. Dann ist seine Gewinnchance stets 1:3 und er wird ungefähr 333 Autos gewinnen. Die restlichen 666 Autos, also das Doppelte, standen hinter der zweiten Tür. Der Wechsel wäre richtig gewesen.

Es gibt weitere Beispiele für unsere Unfähigkeit, mit Statistik und Wahrscheinlichkeiten denktechnisch umzugehen. Wahrscheinlichkeitsrechnung ist im Grunde kein allzu kompliziertes Gebiet. Aber es zeigt immer wieder Ergebnisse, die scheinbar vom "gesunden Menschenverstand" abweichen. Selbst die Eltern von Fünftklässlern haben manchmal Probleme, die Aufgaben ihrer Kinder zu lösen.

Das Geburtstagsproblem Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Gruppe von 28 Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben? Bei derartigen Aufgaben scheitern wir kläglich. Schätzen Sie bitte zuerst und rechnen Sie dann nach! Warum denken wir falsch? Welche Möglichkeiten gibt es überhaupt, daß Personen gleichzeitig Geburtstag haben? Nehmen wir ein Beispiel: Hans, Maria, Michael und Georg treffen sich. Dann könnten gemeinsam Geburtstag haben: Hans und Maria Hans und Michael Hans und Georg Maria und Michael Maria und Georg Michael und Georg Bei vier Personen sind das also 3+2+1 Möglichkeiten. Bei 25 Personen sind es 24+23+22+...+2+1=300 Möglichkeiten. Offenbar mehr, als wir in unsere Schätzung einfließen lassen. Wie wird gerechnet? Ist n die Zahl der Personen, wieviele verschiedene Möglichkeiten der Verteilung der Geburtstage gibt es dann? Für jede Person bestehen 365 Möglichkeiten. Diese sind miteinander zu multiplizieren. Dann erhält man 365 hoch n. Wieviele Möglichkeiten gibt es für zusammenfallende Geburtstage? Da ist es leichter, erst einmal auszurechnen, wieviele Möglichkeiten es gibt, daß keine Geburtstage zusammenfallen. Das ist, wie wenn man nacheinander Lottokugeln aus einer Lostrommel nimmt und nicht mehr zurücklegt. Es ergeben sich 365 • 364 • 363 • ... • (366-n) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, daß Geburtstage in der Gruppe zusammenfallen, ist also (365hoch n - 365 • 364 • ... • (366-n))/365 hoch n. Bei 3 Personen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu p=0,8%. Bei 25 Personen schon etwa 57 %

Wahrscheinlichkeiten spielen übrigens auch eine Rolle in der Strategie und der Spieltheorie.

Es gibt eine Vielzahl von mathematischen Problemen, denen man besser mit dem Taschenrechner auf den Grund geht, als mit dem "gesunden Menschenverstand". Die Schätzung des Ersatzteilverkaufs über die nächsten 10 Jahre, die Fehlerwahrscheinlichkeit in Produktions-Chargen, die realistische Einschätzung von Verbrauchertests, die Lebensdauer eines Produkts etc, all diese Dinge klingen einfach und werden auch mutig geschätzt und beurteilt. Es bedarf aber sehr viel Erfahrung, wenn man Überraschungen vermeiden möchte.

Auch einfachere Zusammenhänge verursachen Probleme ...

Erinnern Sie sich an die Legende von der Erfindung des Schachspiels: Der Erfinder verlangte ein Reiskorn für das erste Feld des Schachbretts und jeweils eine Verdoppelung für alle nachfolgenden Felder. Nach 10 Feldern sind es etwa 1000 Körner, nach 20 Feldern eine Million, nach 30 Feldern eine Milliarde und nach 64 Feldern wäre man etwa bei 16 Milliarden Milliarden ...

Auch die lawinenartige Entwicklung von Variantenzahlen vermag man nur einzuschätzen, wenn man rechnet. Wenn man keine Modellbeschränkung durchsetzen kann, sondern seine 190 verschiedenen Produkte jeweils in 3 Materialien, 22 Farben, 12 nationalen Normen, 33 verschiedenen aufgedruckten Markennamen, 4 Motorstärken, 5 verschiedenen Netzsteckern und 3 Griffvarianten produzieren muß oder will, dann multiplizieren sich die Zahlen der potentiellen Varianten aus und sprengen schnell alle Möglichkeiten der Lagerhaltung und der Organisation ...

Dieses Variantenproblem ist wie viele ähnliche Probleme eigentlich leicht "zu durchschauen". Dennoch liefen Unternehmen schon reihenweise unvorbereitet in diese Variantenfalle. Unser "gesunder Menschenverstand" akzeptiert das eben doch nicht so leicht.

Wenn Sie mehr wissen wollen: